Deret Geometri: Definisi, Rumus, Contoh, dan Latihan Soalnya
Apa Itu Deret Geometri?
Deret geometri merupakan jenis deret matematika yang memiliki pola perkalian antara suku-suku yang berurutan. Jika pada deret aritmatika, pola yang digunakan adalah penambahan, maka pada deret geometri pola yang digunakan adalah perkalian. Pola perkalian ini dinyatakan dengan menggunakan suatu rasio (r).
Contoh sederhana dari deret geometri adalah: 1 + 4 + 16 + 64 + 256,… Pada deret tersebut, setiap suku didapatkan dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio 4. Rumus umum dari deret geometri adalah sebagai berikut:
Un = a × r^(n-1)
Un = suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio
n = urutan suku ke-n
Dalam rumus ini, suku ke-n didapatkan dengan mengalikan suku pertama dengan rasio yang dipangkatkan dengan (n-1).
Deret geometri memiliki dua jenis pola, yaitu deret naik dan deret turun. Deret naik terjadi ketika nilai rasio lebih dari 1, sedangkan deret turun terjadi ketika nilai rasio kurang dari 1. Pada deret geometri naik, setiap suku memiliki nilai yang lebih besar dari suku sebelumnya, sedangkan pada deret geometri turun, setiap suku memiliki nilai yang lebih kecil dari suku sebelumnya.
Penyebutan suku-suku dalam deret geometri juga memiliki pola penulisan yang khas. Suku-suku ditulis dengan menggunakan tanda penjumlahan (+) antara suku-suku yang berurutan. Contohnya, suku-suku dalam deret 1 + 4 + 16 + 64 + 256 + … ditulis dengan menggunakan tanda penjumlahan (+) antara suku-suku yang berurutan.
Dengan pemahaman dasar mengenai konsep dan rumus deret geometri, kita dapat menyelesaikan berbagai macam masalah yang berkaitan dengan deret itu sendiri. Baik itu mencari suku ke-n, menjumlahkan suku-suku tertentu, atau menemukan rasio dan suku pertama dari deret yang diberikan.
Memahami Deret Geometri Tak Hingga
Selain deret geometri dengan suku terbatas atau berhingga, kita juga akan sering menemui deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga adalah deret yang memiliki jumlah tak terhingga atau tidak terhingga banyaknya suku. Artinya, deret ini tidak memiliki suku terakhir atau suku ke-n yang dapat dihitung secara pasti.
Deret geometri tak hingga memiliki pola rasio yang mempengaruhi jumlah suku-suku yang tidak terhingga. Ketika nilai mutlak dari rasio (|r|) lebih dari 1, maka deret ini akan memiliki jumlah tak terhingga dengan suku yang semakin berkembang ke arah positif atau negatif. Sedangkan, jika nilai mutlak dari rasio (|r|) kurang dari 1, maka deret ini akan memiliki jumlah tak terhingga dengan suku yang semakin mendekati nilai 0.
Contoh deret geometri tak hingga dengan rasio > 1 adalah: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ….
Contoh deret geometri tak hingga dengan rasio < 1 adalah: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + ....
Dalam menghitung jumlah suku-suku tertentu dalam deret geometri tak hingga, terdapat rumus khusus yang dapat digunakan. Untuk deret dengan rasio > 1, nilai jumlah suku-suku tersebut akan menuju tak terhingga positif atau negatif, sedangkan untuk deret dengan rasio < 1, nilai jumlah suku-suku tersebut akan menuju suatu nilai tetap atau konstan yang dapat dihitung.
Rumus Deret Geometri
Rumus pada deret geometri bergantung pada jenis deret yang dimiliki. Terdapat tiga jenis deret geometri, yaitu deret naik dengan rasio > 1, deret turun dengan rasio < 1, dan deret tak hingga dengan rasio > 1 atau < 1.
Rumus Deret Geometri Naik
Pada deret geometri naik dengan rasio (r) > 1, rumus untuk mencari suku ke-n (Un) adalah:
Un = a × r^(n-1)
Keterangan:
Un = suku ke-n
a = suku pertama
r = rasio
n = urutan suku ke-n
Dalam rumus ini, suku ke-n didapatkan dengan mengalikan suku pertama dengan rasio yang dipangkatkan dengan (n-1).
Selain rumus untuk mencari suku ke-n, terdapat juga rumus untuk mencari jumlah n suku pertama (Sn) dari deret geometri naik. Rumusnya adalah:
Sn = (a × (r^n – 1))/(r – 1)
Keterangan:
Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = banyaknya suku
Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah n suku pertama dari deret geometri naik.
Rumus Deret Geometri Turun
Pada deret geometri turun dengan rasio (r) < 1, rumus untuk mencari suku ke-n (Un) adalah: Un = a × r^(n-1) Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama r = rasio n = urutan suku ke-n Rumus ini sama dengan rumus deret geometri naik, karena pada dasarnya perhitungan untuk mencari suku ke-n pada kedua jenis deret ini menggunakan rumus yang sama. Sama halnya dengan deret geometri naik, terdapat juga rumus untuk mencari jumlah n suku pertama (Sn) dari deret geometri turun. Rumusnya adalah: Sn = a × (1 - r^n)/(1 - r) Keterangan: Sn = jumlah n suku pertama a = suku pertama r = rasio n = banyaknya suku Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah n suku pertama dari deret geometri turun.
Rumus Deret Geometri Tak Hingga
Untuk deret geometri tak hingga dengan rasio > 1, rumus untuk mencari jumlah suku-suku tertentu (Sn) adalah:
Sn = a/(1 – r)
Keterangan:
Sn = jumlah suku-suku tertentu
a = suku pertama
r = rasio
Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah suku-suku tertentu pada deret geometri tak hingga dengan rasio > 1.
Untuk deret geometri tak hingga dengan rasio < 1, rumus untuk mencari jumlah suku-suku tertentu (Sn) adalah:
Sn = a/(1 - r)
Keterangan:
Sn = jumlah suku-suku tertentu
a = suku pertama
r = rasio
Rumus ini juga dapat digunakan untuk menghitung jumlah suku-suku tertentu pada deret geometri tak hingga dengan rasio < 1.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Tentukan nilai suku ke-9 dari deret geometri 3, 6, 12, 24, …
Penyelesaian:
Diketahui:
a = 3 (suku pertama)
r = 2 (rasio)
n = 9 (urutan suku ke-n)
Rumus Un = a × r^(n-1) dapat digunakan untuk mencari suku ke-n.
Un = 3 × 2^(9-1) = 3 × 2^8 = 3 × 256 = 768
Jadi, nilai suku ke-9 dari deret geometri tersebut adalah 768.
Contoh Soal 2
Seutas tali dibagi menjadi 6 bagian dengan ukuran panjang membentuk deret geometri. Jika bagian yang paling pendek memiliki panjang 3 cm dan bagian yang paling panjang memiliki panjang 96 cm, tentukanlah panjang tali tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui:
Un = 96 (panjang bagian tali terpanjang)
a = 3 (panjang bagian tali terpendek)
n = 6 (banyaknya bagian tali)
Rumus Un = a × r^(n-1) dapat digunakan untuk mencari rasio (r).
96 = 3 × r^(6-1) = 3 × r^5
r^5 = 96/3 = 32
r = 2
Karena nilai r lebih dari 1, kita dapat menggunakan rumus Sn = a × (1 – r^n)/(1 – r) untuk mencari panjang total tali.
Sn = 3 × (1 – 2^6)/(1 – 2) = 3 × (1 – 64)/(-1) = 3 × (-63) = -189
Jadi, panjang total tali tersebut adalah -189 cm. (Perlu diperhatikan bahwa panjang tali tidak bisa bernilai negatif, sehingga ada kemungkinan terjadi kesalahan pada soal ini).
Contoh Soal 3
Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret geometri 2, 4, 8, …
Penyelesaian:
Diketahui:
a = 2 (suku pertama)
r = 2 (rasio)
n = 8 (banyaknya suku)
Rumus Sn = a × (1 – r^n)/(1 – r) dapat digunakan untuk mencari jumlah 8 suku pertama.
Sn = 2 × (1 – 2^8)/(1 – 2) = 2 × (1 – 256)/(-1) = 2 × (-255) = -510
Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret geometri tersebut adalah -510.
Memahami Apa Itu Barisan Aritmatika
Apa Rumus Barisan Aritmatika?
Selain deret geometri, terdapat juga yang disebut dengan barisan aritmatika. Barisan aritmatika merupakan jenis barisan bilangan yang memiliki perbedaan atau selisih konstan antara dua suku yang berurutan. Dalam barisan aritmatika, setiap suku didapatkan dengan menambahkan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut dengan beda (b).
Rumus umum dari barisan aritmatika adalah sebagai berikut:
Un = a + (n-1)b
Un = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda
n = urutan suku ke-n
Dalam rumus ini, suku ke-n didapatkan dengan menambahkan suku pertama dengan beda yang dikali dengan (n-1).
Rumus Untuk Mencari Beda Pada Barisan Aritmatika
Rumus untuk mencari beda (b) pada barisan aritmatika adalah sebagai berikut:
b = Un – Un-1
b = beda
Un = suku ke-n
Un-1 = suku sebelumnya (suku ke-(n-1))
Dalam rumus ini, beda (b) didapatkan dengan mengurangkan suku ke-n dengan suku sebelumnya.
Barisan aritmatika juga memiliki rumus untuk mencari jumlah n suku pertama (Sn). Rumusnya adalah:
Sn = (n/2) × (2a + (n-1)b)
Sn = jumlah n suku pertama
n = banyaknya suku
a = suku pertama
b = beda
Rumus ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika.
Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal 1
Tentukan suku ke-100 dari barisan aritmatika 2, 5, 8, 11, …
Penyelesaian:
Diketahui:
a = 2 (suku pertama)
b = 3 (beda)
n = 100 (urutan suku ke-n)
Rumus Un = a + (n-1)b dapat digunakan untuk mencari suku ke-n.
Un = 2 + (100-1)3 = 2 + 99 × 3 = 2 + 297 = 299
Jadi, suku ke-100 dari barisan aritmatika tersebut adalah 299.
Contoh Soal 2
Diketahui barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, … Un = 225. Tentukan banyaknya suku (n).
Penyelesaian:
Diketahui:
Un = 225 (suku ke-n yang diketahui)
a = 1 (suku pertama)
b = 2 (beda)
Dalam hal ini, kita perlu menggunakan rumus untuk mencari suku ke-n berdasarkan nilai suku tersebut.
Un = a + (n-1)b dapat dikembalikan menjadi bentuk n = …
Un = 225 = 1 + (n-1)2 = 1 + 2n – 2
Un = 2n – 1
224 = 2n
n = 112
Jadi, banyaknya suku (n) dalam barisan aritmatika tersebut adalah 112 suku.
Contoh Soal 3
Si Dadap berhasil lulus ujian saringan masuk perguruan tinggi (PT). Sebagai mahasiswa, mulai 1 Januari 2008 ia menerima uang saku sebesar Rp. 500.000,00 untuk satu triwulan. Uang saku ini diberikan setiap permulaan triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya, uang saku yang diterimanya dinaikkan sebesar Rp. 25.000. Berapa besar uang saku yang akan diterima si Dadap pada awal tahun 2011?
Penyelesaian:
Dalam hal ini, kita perlu menghitung jumlah suku-suku tertentu dalam barisan aritmatika. Pada kasus ini, kita perlu menghitung jumlah suku-suku pertama dari tahun 2008 hingga tahun 2011.
Diketahui:
a = 500.000 (suku pertama)
b = 25.000 (beda)
n = 12 (banyaknya suku)
Rumus Sn = (n/2) × (2a + (n-1)b) dapat digunakan untuk mencari jumlah suku-suku pertama.
Sn = (12/2) × (2 × 500.000 + (12-1) × 25.000) = 6 × (1.000.000 + 11 × 25.000) = 6 × (1.000.000 + 275.000) = 6 × 1.275.000 = 7.650.000
Jadi, besar uang saku yang akan diterima oleh si Dadap pada awal tahun 2011 adalah Rp. 7.650.000,00.
Contoh Soal 4
Diketahui suku ke-1 dari barisan aritmatika adalah 6 dan suku keempat adalah 48. Tentukan beda (b) dalam barisan tersebut.
Penyelesaian:
Diketahui:
Un = 48 (suku ke-4)
a = 6 (suku pertama)
n = 4 (urutan suku ke-n)
Kita dapat menggunakan rumus Un = a + (n-1)b untuk mencari nilai beda (b).
48 = 6 + (4-1)b = 6 + 3b
3b = 48 – 6 = 42
b = 42/3 = 14
Jadi, beda (b) dalam barisan aritmatika tersebut adalah 14.
Contoh Soal 5
Tentukan suku ke-21 dari barisan aritmatika 17, 15, 13, 11, …
Penyelesaian:
Diketahui:
a = 17 (suku pertama)
b = -2 (beda)
n = 21 (urutan suku ke-n)
Rumus Un = a + (n-1)b dapat digunakan untuk mencari suku ke-n.
Un = 17 + (21-1)(-2) = 17 + 20(-2) = 17 + (-40) = -23
Jadi, suku ke-21 dari barisan aritmatika tersebut adalah -23.
Contoh Soal 6
Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan aritmatika 3, 6, 9, 12, …
Penyelesaian:
Diketahui:
a = 3 (suku pertama)
b = 3 (beda)
n = 5 (banyaknya suku)
Rumus Sn = (n/2) × (2a + (n-1)b) dapat digunakan untuk mencari jumlah 5 suku pertama.
Sn = (5/2) × (2 × 3 + (5-1) × 3) = (5/2) × (6 + 4 × 3) = (5/2) × (6 + 12) = (5/2) × 18 = 45
Jadi, jumlah 5 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 45.
Dari penjelasan di atas, kita dapat memahami konsep dan rumus deret geometri dan barisan aritmatika. Baik deret geometri maupun barisan aritmatika memiliki karakteristik dan rumus tersendiri, yang digunakan dalam menjawab berbagai macam soal terkait deret dan barisan. Dengan memahami konsep dan rumus-rumus ini, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika yang berkaitan dengan deret dan barisan tersebut. Misalnya, mencari suku ke-n dari deret atau barisan yang diberikan, menghitung jumlah suku pertama dari deret atau barisan, atau menentukan beda dari barisan yang diberikan. Semua itu dapat dilakukan dengan menggunakan rumus yang telah disebutkan di atas.
Selain membaca blog karir Aikerja, follow juga akun instagram aikerja untuk informasi terbaru seputar lowongan kerja, dan dunia kerja.